出现这个提示唯一的原因是：Linux主机没有安装MySQL扩展。
如果您的主机是用纯手动输入Shell命令安装的LAMP或LNMP，容易出现这个提示。

经过多系统的调试，Debian、Ubuntu、CentOS的Apache/Nginx、PHP，甚至MySQL，需要的组件几乎都是一模一样的，只是命令会有少量区别。

解决“您的PHP似乎没有安装运行WordPress所必需的MySQL扩展”的提示，只需这2步，或者说安装MySQL时，只需安装这2个：
CentOS 5/6：
yum -y install mysql-server php-mysql;

CentOS 7：
yum -y install mariadb-server php-mysql;

Debian 7/8和Ubuntu 12/14：
apt-get -y install mysql-server php5-mysql;

Debian 9/10和Ubuntu 16及以上的版本：
apt -y install mariadb-server php-mysql;

如果系统已安装了Apache/Nginx、PHP，只需安装上述这2个，就可以正常运行Wordpress，然后需要重启Apache/Nginx、重启MySQL，就不会有标题的错误提示。

PHP 7.X下出现这个报错
Ubuntu 16及以上的版本、Debian 9.9及以上的版本，自带源的PHP版本都是PHP 7.X，用上述命令安装，也不会有标题的报错。
如果一旦用第三方的软件源安装，安装完毕，就会有“您的PHP似乎没有安装运行WordPress所必需的MySQL扩展”的报错。

原因在哪里呢？经过昨天一天的排查，是因为如果改用了第三方的软件源的PHP版本，则php-mysql扩展安装时，这个软件名称必须带版本号。CentOS 6/7比较好解决，解决办法是先安装php-mysql，然后再安装PHP 7.X，这样等于是把PHP 5的php-mysql移植到PHP 7.X下。
CentOS的解决办法2，如果此时已经安装第三方软件源的PHP 7.X，则先卸载PHP 7.X，再安装php-mysql，再安装PHP 7.X，标题的报错会解决。

CentOS 5/6/7安装php-mysql的命令：
yum -y install php-mysql;

(注：如果系统里已经安装第三方软件源的PHP 7.X，此时运行yum -y install php-mysql，会有报错，报错内容和原因如前文。)

上述这个移植的方法，到了Debian 7/8/9、Ubuntu 12/14/16下尝试，都行不通。需要给php-mysql加版本号。如果是Debian 9/10和Ubuntu 16及以上的版本用自带源的方法安装PHP 7.X，则php-mysql不用加版本号，命令是：
apt-get -y install php-mysql;

如果Debian、Ubuntu使用第三方软件源安装的PHP，此时php-mysql的版本号写在“php”的后面，例如php7.4-mysql，而且最好在安装PHP的时候一同安装，语句写在一起，例如：
Debian 8/9/10通过sury安装PHP 7.4：
(sury命令由于有时效变化，省略……)
apt update; apt -y install php7.4 php7.4-mysql;

Ubuntu命令和方法同上：
Ubuntu 16及以上的版本通过PPA安装PHP 7.4：
(PPA命令由于有时效变化，省略……)
apt update; apt -y install php7.4 php7.4-mysql;

CentOS 6/7如果用了第三方软件源remi安装的PHP 7.X，除了上述的2种解决办法，还可以用Debian、Ubuntu同样的方法来安装php-mysql扩展，同样需要加版本号，只不过版本号变为一个安装参数，命令如下：
yum -y install epel-release;
rpm -Uvh http://rpms.remirepo.net/enterprise/remi-release-7.rpm
(↑CentOS 7)
rpm -Uvh http://rpms.remirepo.net/enterprise/remi-release-6.rpm
(↑CentOS 6)
yum -y --enablerepo=remi-php74 install php php-mysql;

经过多系统的测试，LAMP、LNMP下，MySQL、php-mysql扩展的安装命令、步骤和调试没有任何区别，所以上述的方法在LAMP、LNMP均适用。
最后，LAMP需要重启Apache、重启MySQL；LNMP需要重启Nginx、重启fpm、重启MySQL。

本文的方法已在上述提到的所有系统、PHP 5、PHP 7.X、PHP 7.4+Wordpress里测试通过，所以写下这篇总结。

重点说明：Linux主机安装php-mysql扩展不需要修改php.ini
在尝试出本文的解决办法之前，我前几天搜遍了网络，有少量文章很有帮助，其中有一篇是完整安装Wordpress的过程，正是由于这个成功的安装过程，才为我找到解决办法提供了启发。而搜到的很多文章，是相同的复制。复制如果是用于备份，对读者是有益的，防止优秀的技术失传。但是相同的网页太多，影响搜索引擎的结果的质量，占用读者的时间。

其中这些相同的文章里，有很多提到修改Linux主机下的php.ini，并且编译出一个msql.so或者mysql.so。这个方法我试了很久，没有成功。

本文是通过安装php-mysql、或php5-mysql、或php7.X-mysql解决的，全程没有修改php.ini。

附带说明
附1：Debian 9.1的自带源是PHP 5，Debian 9.9的自带源是PHP 7，所以上述的命令里的php-mysql可能会有不同，凡是自带源是PHP 5，则Debian、Ubuntu的名称是php5-mysql；如果自带源是PHP 7，则名称是php-mysql。
但是，无论Debian 9.X的自带源是PHP 5，还是PHP 7，都可以统一用这个命令：
apt -y install php-mysql;

附2：除了php-mysql安装时会涉及到版本号的问题，Debian、Ubuntu系统下的php5-gd的这个扩展，同样和php-mysql有可能也需要相应地加版本号，这一项未在多系统下测试。
php5-gd是一个重要的PHP扩展，它用于处理图片，例如产生缩略图。

附3：如前文的测试，虽然CentOS的PHP性能跑分不如Debian、Ubuntu系统，但是CentOS系统也有一些做得很好的地方，比如安装软件时不需要版本号，如php、php-mysq、php-gd这些组件。

附4：mysql-server、或mariadb-server不受PHP 5、PHP 7版本号的影响。
PHP 5、或PHP 7下安装的mysql-server理论上是完全相同的。例如Debian 8.0+自带源PHP 5.6.40和Debian 8.0+sury+PHP 7.4.0，这2个平台下安装的mysql-server是完全一样的。